会员:shitizuohao123  等级:  点击:  2012-12-11

提示:点此下载该试卷的完整版

(时间:40分钟 满分:60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.下列各式中对x∈R都成立的是(  ).

A.lg(x2+1)≥lg(2x) B.x2+1>2x

C.≤1 D.x+≥2

解析 A、D中x必须大于0,故A、D排除,B中应x2+1≥ 2x,故B不正确.

答案 C

2.用反证法证明命题:“已知a,b∈N,若ab可被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”时,反设正确的是(  ).

A.a,b都不能被5整除

B.a,b都能被5整除

C.a,b中有一个不能被5整除

D.a,b中有一个能被5整除

解析 由反证法的定义得,反设即否定结论.

答案 A

3.(2011·福州调研)下列命题中的假命题是(  ).

A.三角形中至少有一个内角不小于60°

B.四面体的三组对棱都是异面直线

C.闭区间[a,b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D.设a,b∈Z,若a+b是奇数,则a,b中至少有一个为奇数

解析 a+b为奇数⇔a,b中有一个为奇数,另一个为偶数,故D错误.

答案 D

4.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(  ).

A.不成立 B.成立 C.不能断定 D.能断定

解析 ∵Sn=2n2-3n,

∴Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2),

∴an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1时,a1=S1=-1符合上式).

又∵an+1-an=4(n≥1),

∴{an}是等差数列.

答案 B

5.设a、b、c均为正实数,则三个数a+、b+、c+(  ).

A.都大于2 B.都小于2

C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2

解析 ∵a>0,b>0,c>0,

∴++=++

≥6,当且仅当a=b=c时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.

答案 D

二、填空题(每小题4分,共12分)

6.用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时,假设应该是___________________________________________________________.

解析 用反证法证明命题时,假设结论不成立,即否定命题的结论.

答案 三角形的三个内角都大于60°

7.要证明“+<2”可选择的方法有以下几种,其中最合理的是________(填序号).

①反证法,②分析法,③综合法.

答案 ②

8.(2011·韶关模拟)下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件的个数是________.

解析 要使+≥2,只要>0且>0,即a,b不为0且同号即可,故有3个.

答案 3

三、解答题(共23分)

9.(11分)设a>0,b>0,a+b=1,求证:++≥8.

证明 ∵a+b=1,

∴++=++

=1++1++≥2+2+

=2+2+4=8,当且仅当a=b=时等号成立.

10.(12分)已知非零向量a,b,且a⊥b,求证:≤.

证明 a⊥b⇔a·b=0,

要证≤.

只需证|a|+|b|≤|a+b|,

只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a·b+b2),

只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,

只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,

即(|a|-|b|)2≥0,

上式显然成立,故原不等式得证.

B级

(时间:30分钟 满分:40分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.已知函数f(x)=x,a,b是正实数,A=f,B=f(),C=f,则A、B、C的大小关系为(  ).

A.A≤B≤C B.A≤C≤B

C.B≤C≤A D.C≤B≤A

解析 ∵≥≥,

又f(x)=x在R上是减函数.

∴f≤f()≤f.

答案 A

2.定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:

①1](  ).

A.n B.n+1 C.n-1 D.n2

解析 由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1]

答案 A

二、填空题(每小题4分,共8分)

3.如果a+b>a+b,则a、b应满足的条件是

________.

解析 首先a≥0,b≥0且a与b不同为0.

要使a+b>a+b,只需(a+b)2>(a+b)2,即a3+b3>a2b+ab2,只需(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),只需a2-ab+b2>ab,即(a-b)2>0,只需a≠b.故a,b应满足a≥0,b≥0且a≠b.

答案 a≥0,b≥0且a≠b

4.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z,则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号).

①x为直线,y,z为平面;②x,y,z为平面;③x,y为直线,z为平面;④x,y为平面,z为直线;⑤x,y,z为直线.

解析 ①中x⊥平面z,平面y⊥平面z,

∴x∥平面y或x⊂平面y.

又∵x⊄平面y,故x∥y成立.

②中若x,y,z均为平面,则x可与y相交,故②不成立.

③x⊥z,y⊥z,x,y为不同直线,故x∥y成立.

④z⊥x,z⊥y,z为直线,x,y为平面可得x∥y,④成立.

⑤x,y,z均为直线,x,y可平行、异面、相交,故⑤不成立.

答案 ①③④

三、解答题(共22分)

5.(10分)若a、b、c是不全相等的正数,求证:

lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.

证明 ∵a,b,c∈(0,+∞),

∴≥>0,≥>0,≥>0.

又上述三个不等式中等号不能同时成立.

∴··>abc成立.

上式两边同时取常用对数,

得lg>lg abc,

∴lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.

6.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0<x<c时,f(x)>0.

(1)证明:是f(x)=0的一个根;

(2)试比较与c的大小;

(3)证明:-2<b<-1.

(1)证明 ∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,

∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2,

∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,

又x1x2=,∴x2=,

∴是f(x)=0的一个根.

(2)解 假设<c,又>0,

由0<x<c时,f(x)>0,

知f>0与f=0矛盾,

∴≥c,

又∵≠c,∴>c.

(3)证明 由f(c)=0,得ac+b+1=0,

∴b=-1-ac.

又a>0,c>0,∴b<-1.

二次函数f(x)的图象的对称轴方程为

x=-=<=x2=,

即-<.又a>0,

∴b>-2,∴-2<b<-1.

   
  • ◆ 相关试题