会员:努力学习  等级:  点击:  2017-8-14

继续来讲领带的数学。2001年出版的《85种打领带的方法(The 85 Ways to Tie a Tie)》,将打领带的步骤用数学语言来描述。分成左、右、中3个方向;“进去”或“出来”2种前后模式,一共有6种动作:

左出(Lo)、左进(Li)、中出(Co)、中进(Ci)、右出(Ro)、右进(Ri)。

打领带就是这6种动作的排列组合。

在9步以内可以完成的领带打法共有85种。到底是怎么算出来的呢?

首先我们可以知道,假如领带都是从左边开始,第n步可能结束在右、中、左。令Fr(n)是“第n步结束在右侧的各种打法数目”,Fc(n)与Fl(n)各自是第n步结束在中(左)侧的各种打法数目,可以得到

Fr(n)+Fc(n)+Fl(n)=2n-1

因为第一步固定从左边开始,第二步以后,每一步不能跟前一步同一个方向(只剩2个方向),进去或出来一定是交替(因此前面进后面一定是出,只剩一种选择)。6种动作实际上只剩2种动作。所以n步会有2的(n-1)次方

其次,第(n+2)步结束在左边的,第n+1步时一定在右边或是中间,因此可以写出

Fl(n+2)=Fr(n+1)+Fc(n+1)

再进一步回推到第n步,可以得到

Fl(n+2)=Fr(n+1)+Fc(n+1)=Fc(n)+2Fl(n)+Fr(n)

将Fr(n)+Fc(n)+Fl(n)=2n-1带入,我们可以得到

Fl(n+2)= Fl(n)+2n-1

重要结果出现了,等号两边都只剩下Fl这个函数,只是一个是Fl(n+2),一个是Fl(n)。数学上这称为递迴表示法,最常听到的是费波那契数列这个例子:1,1,2,3,5,8,13……每一项都是前两项的总和。递迴表示法只要有前几项的资讯,就能轻易算出后面几项。领带打法也是这样,只要找出1步、2步、3步这种简单步数下能打出几种领带,后面複杂的打法就可以直接套公式计算。K(h)是h个步骤下有几种打领带的方式。

K(h)=Fr(h-2)+Fl(h-2)=(2h-2-(-1)h-2)/3

其中,h-2的原因是要扣掉第一步是从左边出发,以及扣掉最后一步通常在中间结束。当然,有很多打法是“可以打但不好看”,书中更进一步分析不好看的领带是因为包含了哪些步骤。最后总结起来只剩下13种打法。如果你有兴趣的话,不妨挑战看看複杂9步打法

Lo Ci Ro Ci Lo Ci Ro Li Co T

这称之为巴尔萨斯结打法。

   
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