会员:shitizuohao123  等级:  点击:  2013-6-10

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理科数学

第Ⅰ卷

注意事项:

每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.

本卷共8小题,每小题5分,共40分.

参考公式:

·如果事件A,B互斥,那么

·棱柱的体积公式V=Sh,

其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.

·如果事件A,B相互独立,那么

·球的体积公式

其中R表示球的半径.

一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)已知集合A={x∈R||x|≤2},A={x∈R|x≤1},则

(A) (B)[1,2] (C)[-2,2] (D)[-2,1]

(2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为

(A)-7 (B)-4

(C)1 (D)2

(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为1,则输出S的值为

(A)64 (B)73

(C)512 (D)585

(4)已知下列三个命题:

①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;

②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;

③直线x+y+1=0与圆相切.

其中真命题的序号是:

(A)①②③ (B)①②

(C)②③ (D)②③

(5)已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=

(A)1 (B) (C)2 (D)3

(6)在△ABC中,则=

(A) (B) (C) (D)

(7)函数的零点个数为

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(8)已知函数.设关于x的不等式的解集为A,若,则实数a的取值范围是

(A) (B)

(C) (D)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理科数学

第Ⅱ卷

注意事项:

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共12小题,共110分.

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

(9)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=.

(10)的二项展开式中的常数项为.

(11)已知圆的极坐标方程为,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=.

(12)在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若,则AB的长为.

(13)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD//AC.过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为.

(14)设a+b=2,b>0,则当a=时,取得最小值.

三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(15)(本小题满分13分)

已知函数.

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

(16)(本小题满分13分)

一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.

(Ⅱ)再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

(17)(本小题满分13分)

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.

(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.

(18)(本小题满分13分)

设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.

(19)(本小题满分14分)

已知首项为的等比数列不是递减数列,其前n项和为,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设,求数列的最大项的值与最小项的值.

(20)(本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使.

(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为,证明:当时,有

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